Вероятность наступления события

Теория вероятности

Для решения задачи необходимо обозначить доставание синего шарика событием А. Данный опыт может иметь десять исходов, которые, в свою очередь, элементарные и равновозможные. В то же время из десяти шесть являются благоприятствующими событию А. Решаем по формуле:

Решение задач с формулировкой хотя бы один

Фактически мы сужаемся к классу задач, который носит название «повторные независимые испытания» или «схема Бернулли», когда проводится $n$ опытов, вероятность наступления события в каждом из которых равна $p$. Нужно найти вероятность, что событие появится хотя бы раз из $n$ повторений:

Основы теории вероятностей для актуариев

Приборы, обеспечивающие слепую посадку, имеют вероятность безотказной работы Р. Если есть низкая облачность и приборы слепой посадки отказали, вероятность удачного приземления равна Р3, причем Р3<Р2. Известно, что для данного аэродрома доля дней в году с низкой облачностью равна .

Вероятность события

Например: вычислим вероятность того, что в исп. №1 с синими и красными шарами выпадет число между 1 и 4. Рассчитаем не в одно действие, а суммой вероятностей элементарных составляющих. Итак, в таком опыте всего 6 шаров или 6 всех возможных исходов. Цифры, которые удовлетворяют условие, – 2 и 3. Вероятность выпадения цифры 2 составляет 1/6, вероятность цифра 3 также 1/6. Вероятность того, что выпадет цифра между 1 и 4 равна:

Вероятность наступления события

Пример 2. В ящике лежат 10 теннисных мячей, в том числе 8 новых и 2 играных. Для игры наудачу выбираются два мяча и после игры возвращаются обратно. Затем для второй игры наудачу извлекаются еще два мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами?

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Вероятность наступления события может быть определена объективным методом или субъективным. Объективный метод определения вероятности основан на вычислении частоты, с которой происходит данное событие. Субъективный метод определения вероятности основан на использовании субъективных критериев, которые основываются на различных предположениях. К таким предположениям могут относиться суждение оценивающего, его личный опыт, оценка эксперта, мнение финансового консультанта и т.п. Когда вероятность определяется субъективно, то разные люди могут устанавливать разное ее значение для одного и того же события и таким образом делать различный выбор.  [2]

Вероятность наступления события

Классификация событий на возможные, вероятные и случайные. Понятия простого и сложного элементарного события. Операции над событиями. Классическое определение вероятности случайного события и её свойства. Элементы комбинаторики в теории вероятностей. Геометрическая вероятность. Аксиомы теории вероятностей.

Рекомендуем прочесть:  Госпошлина за регистрацию имущества

Зависимые события и условная вероятность

На предыдущем уроке мы ознакомились с основными теоремами сложения и умножения вероятностей, а также научились решать типовые задачи с независимыми событиями, и сейчас последует гораздо более интересное продолжение, которое позволит не только освоить новый материал, но и, возможно, окажет практическую житейскую помощь.

Действия над вероятностями

Пример 5. Грузы доставляют тремя видами транспорта: речным, железнодорожным и автотранспортом. Вероятность того, что груз будет доставлен речным транспортом, составляет 0,82, железнодорожным транспортом 0,87, автотранспортом 0,90. Найти вероятность того, что груз будет доставлен хотя бы одним из трёх видов транспорта.

Условная вероятность

Решение. Когда во второй ящик переложили 2 куска, то образовалось 2 набора камней – старый, который уже был и о котором все известно, и новый, состоящий из двух камней, о котором не известно ничего. Рассмотрим подробнее камни в этом ящике. В ящике стало 10 кусков мрамора, но как бы 2 группы – первая состоит из тех камней, что были до того, как камни переложили, в которой 8 камней; и вторая, которая состоит из неизвестных камней, это те, которые переложили, т.е. группа из двух камней. Вторая группа может состоять из двух кусков розового мрамора, из 1 куска белого и 1 куска розового; или из двух кусков белого мрамора. Берется только 1 кусок, поэтому речь идет о сумме вероятностей двух событий: «кусок мрамора выбрали из первой группы и этот кусок был розовый» и «выбрали кусок мрамора из второй группы и этот кусок был розовым». Вычислить вероятность первого события не представляет труда — . Для того чтобы вторая группа состояла из двух кусков розового мрамора, надо чтобы два куска розового мрамора были взяты из первого ящика, т.е. — . Если вторая группа состоит из 1 куска белого и 1 куска розового, то розовый мрамор мог быть взят первый раз или во второй. Тогда вероятность этого события будет равна — . Вариант, если вторая группа состоит только из белого мрамора не меняет вероятность искомого события. Теперь вероятность события «выбрали кусок мрамора из второй группы и этот кусок был розовым» можно вычислить так:. Таким образом, воспользовавшись формулой полной вероятностей, имеем:

Вероятность наступления события

Наряду с указанными теоремами существует так называемая центральная предельная теорема, которая дает предельное распределение вероятностей для средней, а именно, при определенных слабых условиях среднее значение наблюдений случайной величины при достаточно большом количестве наблюдений имеют нормальное распределение (независимо от исходного распределения самой случайной величины). Например, такое имеет место для среднего значения независимых одинаково распределенных случайных величин. В частности эта теорема применима и к схеме Бернулли. Вообще количество появлений события A в n испытаниях имеет биномиальное распределение, однако при достаточно большом количестве наблюдений это распределение согласно указанной теореме стремится к нормальному распределению в данном случае с математическим ожиданием n p <\displaystyle np>и дисперсией n p ( 1 − p ) <\displaystyle np(1-p)>, где p <\displaystyle p> — вероятность появления события А в каждом испытании. Это утверждается в локальной и интегральной теоремах Муавра-Лапласа. Отсюда же следует и указанный выше вывод, а именно: среднее значение случайной величины-индикатора события — то есть частота появления события в испытаниях — будет иметь в пределе математическое ожидание p <\displaystyle p>и дисперсию p ( 1 − p ) / n <\displaystyle p(1-p)/n>, которая стремится к нулю с ростом количества испытаний. Таким образом, частота стремится к истинной вероятности наступления события при увеличении количества независимых испытаний, причем мы знаем распределение частоты при достаточно большом количестве наблюдений.

Рекомендуем прочесть:  Больничные для военнослужащего

Математический форум Math Help Planet

Решение. Вероятность появления белого шара при первом испытании [math]P\=\frac<5><12>[/math] . Вероятность появления черного шара при втором испытании, вычисленная в предположении, что при первом испытании появился белый шар, т. е. условная вероятность [math]P\=\frac<4><11>[/math] . Вероятность появления синего шара при третьем испытании, вычисленная в предположении, что при первом испытании появился белый шар, а при втором — черный, [math]P\=\frac<3><10>[/math] . Искомая вероятность

Независимость событий

Пример. Два стрелка на соревнованиях стреляют по мишеням, причем, если один из них стреляет метко, то соперник начинает нервничать, и его результаты ухудшаются. Как превратить эту житейскую ситуацию в математическую задачу и наметить пути ее решения? Интуитивно понятно, что надо каким-то образом разделить два варианта развития событий, составить по сути дела два сценария, две разные задачи. В первом случае, если соперник промахнулся, сценарий будет благоприятный для нервного спортсмена и его меткость будет выше. Во втором случае, если соперник прилично реализовал свой шанс, вероятность поразить мишень для второго спортсмена снижается.

Высшая математика

Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Например, если А – деталь годная, В – деталь окрашенная, то АВ – деталь годна и окрашена. Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Например, если А, В, С – появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то АВС – выпадение «герба» во всех трех испытаниях.

Определение вероятности

Рассмотрим некий стохастический эксперимент и пусть пространство его элементарных событий состоит из конечного или бесконечного (но счетного) множества элементарных событий ω1, ω2, …, ωi, … . предположим, что каждому элементарному событию ωi прописан некоторое число — рi, характеризующее степень возможности появления данного элементарного события и удовлетворяющее следующим свойствам:

Ссылка на основную публикацию